球体定理类似

注意到这个定理与我们要证明的定理不同，原因是如果我们应用一个从*体到自身的保圆映射，圆心可能不会映射到像圆的中心。

例如，布鲁内托观察到，在普通*体的*面上，一切沿「直线」的运动在走过相同的距离（赤道的长度）后都会回到起点。三维*面就是具有同样属性的三维空间。爱因斯坦的时空并不是外部空间意义上的弯曲，它指的是内部几何上的弯曲，换句话说，从内部观察到的两点之间的距离，不遵循平直空间的几何学。在这个空间里，毕达哥拉斯定理并不成立，正如毕达哥拉斯定理高斯提出的描绘曲面的方法，以图3.14箭头的平行线，沿环路（圈）在弯曲空间上回到出发点，方向旋转了。

但选择公理也有意想不到的后果，所谓的巴拿赫-塔斯基“悖论”就是一个重要的例子。根据这个结果，给定一个固体*体，可以将其分解成有限多的碎片，这些碎片可以放在一起形成两个与原始*体大小相同的固体*体（有关选择公理后果的进一步讨论，请参阅********）。悖论的感觉于考虑到一个物理*体（也许是一个橙子）可以被切成两个*体（两个橙子）而产生的混乱。显然，这是不可能的，巴拿赫-塔斯基定理也没有另外说明。事实上，该定理仅适用于抽象对象：所讨论的*体没有体积（它们是点的无限散射），并且该定理对具体对象（例如水果）可以或不能做什么没有任何说明。再一次，在物理世界中，从抽象实体到具体配置没有直接的因果关系。

正是这个奇妙的定理（例如，任何紧致连通的定向曲面都是带有一些手柄的*体）给出了现代数学的正确印象，而不是超抽象的欧几里得空间的天真子流形的一般化，实际上并没有给出什么新东西，而被公理化者们呈现为成就。

对于完美的匀质*体，无论怎么转，转动惯量都是一样大，没有中间轴，也就无法产生贾尼别科夫效应。地*并非完美*体，更像是一个梨子，赤道部分鼓起，北极有点尖，南极有点凹，因此地*只有两个不同的惯量主轴，没有中间轴，不适用中间轴定理。而且地*不是刚体，内部存在大量的岩浆，在当前地*已经沿着产生更大转动惯量的主轴转动的情况下，地*的自转是稳定的，不会发生周期性翻转。不过地*虽然不会周期性翻转，但是地*磁场却会发生翻转，那就是另外的故事了。